(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
fact(X) → if(zero(X), n__s(n__0), n__prod(X, n__fact(n__p(X))))
add(0, X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
prod(0, X) → 0
prod(s(X), Y) → add(Y, prod(X, Y))
if(true, X, Y) → activate(X)
if(false, X, Y) → activate(Y)
zero(0) → true
zero(s(X)) → false
p(s(X)) → X
s(X) → n__s(X)
0 → n__0
prod(X1, X2) → n__prod(X1, X2)
fact(X) → n__fact(X)
p(X) → n__p(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__0) → 0
activate(n__prod(X1, X2)) → prod(activate(X1), activate(X2))
activate(n__fact(X)) → fact(activate(X))
activate(n__p(X)) → p(activate(X))
activate(X) → X
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2n):
The rewrite sequence
activate(n__s(n__fact(X31510_3))) →+ s(if(zero(activate(X31510_3)), n__s(n__0), n__prod(activate(X31510_3), n__fact(n__p(activate(X31510_3))))))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0].
The pumping substitution is [X31510_3 / n__s(n__fact(X31510_3))].
The result substitution is [ ].
The rewrite sequence
activate(n__s(n__fact(X31510_3))) →+ s(if(zero(activate(X31510_3)), n__s(n__0), n__prod(activate(X31510_3), n__fact(n__p(activate(X31510_3))))))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,2,0].
The pumping substitution is [X31510_3 / n__s(n__fact(X31510_3))].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(2^n, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
fact(X) → if(zero(X), n__s(n__0), n__prod(X, n__fact(n__p(X))))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
prod(0', X) → 0'
prod(s(X), Y) → add(Y, prod(X, Y))
if(true, X, Y) → activate(X)
if(false, X, Y) → activate(Y)
zero(0') → true
zero(s(X)) → false
p(s(X)) → X
s(X) → n__s(X)
0' → n__0
prod(X1, X2) → n__prod(X1, X2)
fact(X) → n__fact(X)
p(X) → n__p(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__0) → 0'
activate(n__prod(X1, X2)) → prod(activate(X1), activate(X2))
activate(n__fact(X)) → fact(activate(X))
activate(n__p(X)) → p(activate(X))
activate(X) → X
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
fact(X) → if(zero(X), n__s(n__0), n__prod(X, n__fact(n__p(X))))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
prod(0', X) → 0'
prod(s(X), Y) → add(Y, prod(X, Y))
if(true, X, Y) → activate(X)
if(false, X, Y) → activate(Y)
zero(0') → true
zero(s(X)) → false
p(s(X)) → X
s(X) → n__s(X)
0' → n__0
prod(X1, X2) → n__prod(X1, X2)
fact(X) → n__fact(X)
p(X) → n__p(X)
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__0) → 0'
activate(n__prod(X1, X2)) → prod(activate(X1), activate(X2))
activate(n__fact(X)) → fact(activate(X))
activate(n__p(X)) → p(activate(X))
activate(X) → X
Types:
fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
if :: true:false → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
zero :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → true:false
n__s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__0 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
add :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
0' :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
true :: true:false
activate :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
false :: true:false
p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod1_3 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_true:false2_3 :: true:false
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
fact,
add,
prod,
activateThey will be analysed ascendingly in the following order:
fact = activate
add < prod
prod < activate
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
fact(
X) →
if(
zero(
X),
n__s(
n__0),
n__prod(
X,
n__fact(
n__p(
X))))
add(
0',
X) →
Xadd(
s(
X),
Y) →
s(
add(
X,
Y))
prod(
0',
X) →
0'prod(
s(
X),
Y) →
add(
Y,
prod(
X,
Y))
if(
true,
X,
Y) →
activate(
X)
if(
false,
X,
Y) →
activate(
Y)
zero(
0') →
truezero(
s(
X)) →
falsep(
s(
X)) →
Xs(
X) →
n__s(
X)
0' →
n__0prod(
X1,
X2) →
n__prod(
X1,
X2)
fact(
X) →
n__fact(
X)
p(
X) →
n__p(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__0) →
0'activate(
n__prod(
X1,
X2)) →
prod(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__fact(
X)) →
fact(
activate(
X))
activate(
n__p(
X)) →
p(
activate(
X))
activate(
X) →
XTypes:
fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
if :: true:false → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
zero :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → true:false
n__s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__0 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
add :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
0' :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
true :: true:false
activate :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
false :: true:false
p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod1_3 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_true:false2_3 :: true:false
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
add, fact, prod, activate
They will be analysed ascendingly in the following order:
fact = activate
add < prod
prod < activate
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol add.
(10) Obligation:
TRS:
Rules:
fact(
X) →
if(
zero(
X),
n__s(
n__0),
n__prod(
X,
n__fact(
n__p(
X))))
add(
0',
X) →
Xadd(
s(
X),
Y) →
s(
add(
X,
Y))
prod(
0',
X) →
0'prod(
s(
X),
Y) →
add(
Y,
prod(
X,
Y))
if(
true,
X,
Y) →
activate(
X)
if(
false,
X,
Y) →
activate(
Y)
zero(
0') →
truezero(
s(
X)) →
falsep(
s(
X)) →
Xs(
X) →
n__s(
X)
0' →
n__0prod(
X1,
X2) →
n__prod(
X1,
X2)
fact(
X) →
n__fact(
X)
p(
X) →
n__p(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__0) →
0'activate(
n__prod(
X1,
X2)) →
prod(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__fact(
X)) →
fact(
activate(
X))
activate(
n__p(
X)) →
p(
activate(
X))
activate(
X) →
XTypes:
fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
if :: true:false → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
zero :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → true:false
n__s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__0 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
add :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
0' :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
true :: true:false
activate :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
false :: true:false
p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod1_3 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_true:false2_3 :: true:false
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
prod, fact, activate
They will be analysed ascendingly in the following order:
fact = activate
prod < activate
(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol prod.
(12) Obligation:
TRS:
Rules:
fact(
X) →
if(
zero(
X),
n__s(
n__0),
n__prod(
X,
n__fact(
n__p(
X))))
add(
0',
X) →
Xadd(
s(
X),
Y) →
s(
add(
X,
Y))
prod(
0',
X) →
0'prod(
s(
X),
Y) →
add(
Y,
prod(
X,
Y))
if(
true,
X,
Y) →
activate(
X)
if(
false,
X,
Y) →
activate(
Y)
zero(
0') →
truezero(
s(
X)) →
falsep(
s(
X)) →
Xs(
X) →
n__s(
X)
0' →
n__0prod(
X1,
X2) →
n__prod(
X1,
X2)
fact(
X) →
n__fact(
X)
p(
X) →
n__p(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__0) →
0'activate(
n__prod(
X1,
X2)) →
prod(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__fact(
X)) →
fact(
activate(
X))
activate(
n__p(
X)) →
p(
activate(
X))
activate(
X) →
XTypes:
fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
if :: true:false → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
zero :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → true:false
n__s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__0 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
add :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
0' :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
true :: true:false
activate :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
false :: true:false
p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod1_3 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_true:false2_3 :: true:false
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
activate, fact
They will be analysed ascendingly in the following order:
fact = activate
(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
activate(
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(
n31_3)) →
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(
n31_3), rt ∈ Ω(1 + n31
3)
Induction Base:
activate(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(0)) →RΩ(1)
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(0)
Induction Step:
activate(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(+(n31_3, 1))) →RΩ(1)
s(activate(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(n31_3))) →IH
s(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(c32_3)) →RΩ(1)
n__s(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(n31_3))
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(14) Complex Obligation (BEST)
(15) Obligation:
TRS:
Rules:
fact(
X) →
if(
zero(
X),
n__s(
n__0),
n__prod(
X,
n__fact(
n__p(
X))))
add(
0',
X) →
Xadd(
s(
X),
Y) →
s(
add(
X,
Y))
prod(
0',
X) →
0'prod(
s(
X),
Y) →
add(
Y,
prod(
X,
Y))
if(
true,
X,
Y) →
activate(
X)
if(
false,
X,
Y) →
activate(
Y)
zero(
0') →
truezero(
s(
X)) →
falsep(
s(
X)) →
Xs(
X) →
n__s(
X)
0' →
n__0prod(
X1,
X2) →
n__prod(
X1,
X2)
fact(
X) →
n__fact(
X)
p(
X) →
n__p(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__0) →
0'activate(
n__prod(
X1,
X2)) →
prod(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__fact(
X)) →
fact(
activate(
X))
activate(
n__p(
X)) →
p(
activate(
X))
activate(
X) →
XTypes:
fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
if :: true:false → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
zero :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → true:false
n__s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__0 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
add :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
0' :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
true :: true:false
activate :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
false :: true:false
p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod1_3 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_true:false2_3 :: true:false
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
Lemmas:
activate(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(n31_3)) → gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(n31_3), rt ∈ Ω(1 + n313)
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
fact
They will be analysed ascendingly in the following order:
fact = activate
(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol fact.
(17) Obligation:
TRS:
Rules:
fact(
X) →
if(
zero(
X),
n__s(
n__0),
n__prod(
X,
n__fact(
n__p(
X))))
add(
0',
X) →
Xadd(
s(
X),
Y) →
s(
add(
X,
Y))
prod(
0',
X) →
0'prod(
s(
X),
Y) →
add(
Y,
prod(
X,
Y))
if(
true,
X,
Y) →
activate(
X)
if(
false,
X,
Y) →
activate(
Y)
zero(
0') →
truezero(
s(
X)) →
falsep(
s(
X)) →
Xs(
X) →
n__s(
X)
0' →
n__0prod(
X1,
X2) →
n__prod(
X1,
X2)
fact(
X) →
n__fact(
X)
p(
X) →
n__p(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__0) →
0'activate(
n__prod(
X1,
X2)) →
prod(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__fact(
X)) →
fact(
activate(
X))
activate(
n__p(
X)) →
p(
activate(
X))
activate(
X) →
XTypes:
fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
if :: true:false → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
zero :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → true:false
n__s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__0 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
add :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
0' :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
true :: true:false
activate :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
false :: true:false
p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod1_3 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_true:false2_3 :: true:false
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
Lemmas:
activate(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(n31_3)) → gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(n31_3), rt ∈ Ω(1 + n313)
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(x))
No more defined symbols left to analyse.
(18) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
activate(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(n31_3)) → gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(n31_3), rt ∈ Ω(1 + n313)
(19) BOUNDS(n^1, INF)
(20) Obligation:
TRS:
Rules:
fact(
X) →
if(
zero(
X),
n__s(
n__0),
n__prod(
X,
n__fact(
n__p(
X))))
add(
0',
X) →
Xadd(
s(
X),
Y) →
s(
add(
X,
Y))
prod(
0',
X) →
0'prod(
s(
X),
Y) →
add(
Y,
prod(
X,
Y))
if(
true,
X,
Y) →
activate(
X)
if(
false,
X,
Y) →
activate(
Y)
zero(
0') →
truezero(
s(
X)) →
falsep(
s(
X)) →
Xs(
X) →
n__s(
X)
0' →
n__0prod(
X1,
X2) →
n__prod(
X1,
X2)
fact(
X) →
n__fact(
X)
p(
X) →
n__p(
X)
activate(
n__s(
X)) →
s(
activate(
X))
activate(
n__0) →
0'activate(
n__prod(
X1,
X2)) →
prod(
activate(
X1),
activate(
X2))
activate(
n__fact(
X)) →
fact(
activate(
X))
activate(
n__p(
X)) →
p(
activate(
X))
activate(
X) →
XTypes:
fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
if :: true:false → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
zero :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → true:false
n__s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__0 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__fact :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
n__p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
add :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
0' :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
s :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
prod :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
true :: true:false
activate :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
false :: true:false
p :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod1_3 :: n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
hole_true:false2_3 :: true:false
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod
Lemmas:
activate(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(n31_3)) → gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(n31_3), rt ∈ Ω(1 + n313)
Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(x))
No more defined symbols left to analyse.
(21) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
activate(gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(n31_3)) → gen_n__0:n__s:n__p:n__fact:n__prod3_3(n31_3), rt ∈ Ω(1 + n313)
(22) BOUNDS(n^1, INF)